III.1 INTRODUCTION
Un système de freinage a pour fonction principale de transformer une énergie mécanique en une énergie thermique. Cette énergie se caractérise par un échauffement du disque et des plaquettes lors de la phase de freinage. La modélisation du comportement thermique de l’ensemble disque –plaquettes permet d’analyser l’évolution et la répartition des températures au niveau des zones de contact. Grâce aux résultats obtenus à partir du modèle développé, il devient possible d’optimiser le système. La modélisation des écoulements et des échanges de chaleur permet de comprendre et de quantifier les phénomènes physiques sans avoir recours à des essais expérimentaux.
III.2 LA MODELISATION THERMIQUE DU PROBLEME
III.2.1 Equation de la chaleur
Soit v une partie quelconque de V limitée par la surface s.
Fig.III.1 : Bilan thermique.
La puissance thermique stockée dans v est égale à la somme de la puissance thermique générée par les sources volumiques contenues dans v et de la puissance thermique reçue sous forme de flux à travers la surface s [21] :
III.2.2 Forme différentielle
Résoudre un problème thermique consiste à chercher un champ de températures T(x, y, z, t) à partir de l’équation (III.4) en tenant compte des conditions aux limites et initiales suivantes [21] :
III.2.3 Forme intégrale faible
Pour résoudre le problème définit par le système d’équations (III.4, III.5, III.6) par la méthode des éléments finis, on utilise la méthode des résidus pondérés dans la formulation de Galerkin [22, 23,24]. Multiplions l’équation (III.3) par une fonction arbitraire et intégrons sur le domaine V :
III.2.4 Forme discrétisée : éléments finis
La solution analytique du système d’équations (III.12, III.13) est en général inaccessible. On est donc conduit à chercher une solution approchée par une méthode numérique : la méthode des éléments finis. Cette méthode est un cas particulier de la méthode de Galerkin : le champ de températures et les fonctions test appartiennent au même espace de dimension finie.
III.2.4.1 Représentation élémentaire (ou locale) du champ de températures
III.2.4.2 Représentation globale du champ de températures
Le champ de températures sur l’ensemble du domaine V a pour expression:
III.2.4.3 Partition des degrés de liberté
III.2.4.4 Discrétisation de la forme intégrale faible
De l’expression du champ de températures T :
La discrétisation en espace du problème par la méthode des éléments finis conduit à la résolution d’un système d’équations en temps, en général du premier ordre. La figure III.2 représente l’organigramme principal par la M.E.F en utilisant la méthode des substitutions successives.
Fig.III.2 : Organigramme principal de résolution de système d’équations par la M.E.F.
III.2.4.4.1 Conditions initiales et conditions aux limites
– La température du disque est constante est égale :
– Dans notre cas, il s’agit d’un problème thermique transitoire avec deux conditions aux limites :
. Un flux de chaleur entrant dans le disque (conduction) localisé dans la zone de contact disque-plaquette dans les deux côtés,
. Un échange de chaleur par convection sur toute la surface du disque.
III.3 ETUDE MECANIQUE DU CONTACT PLAQUETTE DE FREIN/DISQUE
III.3.1 Introduction
La complexité des systèmes physiques ou technologiques destinés à être conçus ou étudiés a conduit à employer des méthodes numériques basées sur le principe d’approcher une solution nominale le plus possible, mais celles-ci exigent de grands calculs nécessitant des calculateurs efficaces.
Une étude du contact entre le disque et les plaquettes de frein est nécessaire pour l’évaluation des pressions contact et des efforts de cisaillement ainsi les contraintes équivalentes de Von Mises et les déformations qui représentent le chargement mécanique imposé au disque. De plus, le flux de chaleur qui est engendré par le frottement est dépendant du contact. Son expression théorique est [25] :
µ est le coefficient de frottement local, V la vitesse de glissement du point considéré et P la pression de contact.
Dans cette étude, on a modélisé le disque et la plaquette en utilisant le logiciel d’élément finis Multiphysics ANSYS 11 en caractérisant pour chaque pièce les propriétés mécaniques des matériaux. Le type d’analyse choisi est structurale statique .La simulation a lieu pour durée totale de freinage t=45 [s] et en adoptant le pas de temps pour les mêmes conditions du cas thermique :
– Pas du temps initial = 0,25 [s]
– Pas du temps initial minimal = 0,125 [s]
– Pas du temps initial maximal = 0,5 [s]
III.3.2 Simulation du problème en ANSYS
Le code d’éléments finis ANSYS 11 (3D) est utilisé dans cette partie pour simuler le comportement du mécanisme de contact par frottement des deux corps (plaquette et disque) lors d’un freinage d’arrêt. Ce code possède des algorithmes de gestion du contact avec frottement basés sur la méthode des multiplicateurs de Lagrange, ou la méthode de pénalisation. Le module d’Young du disque étant environ 138 fois plus élevé que celui de la plaquette, les simulations présentées dans notre étude considèrent le contact avec frottement d’une plaquette déformable sur un disque rigide. L’application de la pression de contact sur la plaquette de frein vient mettre celle-ci en contact frottant avec le disque dont la vitesse de rotation est maintenue constante durant toute la simulation. le matériau choisi du disque est le Fonte Grise FG 15 à haute teneur en carbone et la plaquette de frein a un comportement élastique isotrope dont les caractéristiques mécaniques des deux pièces sont récapitulées dans le tableau III.1. Des caractéristiques de conception des pièces sont également fournies directement par le code Ansys 11 ; données dans le tableau III.2 [26].
Le coefficient de frottement µ est égal à 0,2 au niveau de la zone de contact. Dans le cas avec frottement, cette dernière se situe de l’interface de contact, les contraintes de cisaillement provoquées par le frottement à ce niveau là sont à l’origine de ce phénomène. Le coefficient de frottement dépend de beaucoup de paramètres (pression, vitesse de glissement, température, humidité, etc.). Nous rappelons que l’ANSYS peut, au choix, utiliser une méthode de multiplicateurs de Lagrange ou bien une méthode de Lagrangien augmenté, une méthode de pénalisation pour résoudre le problème de contact [27]. C’est cette dernière qui a été sélectionnée dans ce travail.
Tableau .III.1 : Tableau des caractéristiques mécaniques des deux pièces.
Tableau .III.2 : Caractéristiques de conception des deux pièces.
III.3.3 Création du modèle sur ANSYS Workbench
Pour commencer l’étude, on a créé une structure sur ANSYS Wb qui représente le disque de frein avec la plaquette. Puis, on a fait le maillage et on a défini les conditions aux limites pour le mettre ensuite sur l’ANSYS Multiphysics et initialiser le calcul.
Fig.III.3 : Création du modèle sur ANSYS WB11.
III.3.4 Choix du maillage
Un fois la structure est créée, on a fait le maillage. Il s’agit d’un maillage progressif. Le modèle disque-plaquette a été maillé par des éléments volumiques tétraédriques et quadratiques à 10 nœuds (fig.III.4).
Fig.III.4 : Elément tétraèdre quadratique isoparamétrique à 10 nœuds.
L’ANSYS Workbench effectue un maillage automatique (par défaut) .Si on aurait besoin de le raffiner, on doit intervenir dans le changement des paramètres choisis par défaut. Les figures III.5, 6 donnent respectivement un maillage volumique d’un disque et une plaquette de frein rainurée.
Fig.III.5 : Maillage d’un disque Nœuds 33256 éléments 17393.
Fig.III.6 : Maillage d’une plaquette rainurée Nœuds 2669 éléments 1266.
III.3.5 Détermination de la pression de contact
Le principe du modèle généralement dans la littérature prendre en compte à chaque instant l’évolution du contact disque-plaquette. Cette répartition du contact permet de calculer et d’appliquer le flux de chaleur crée par frottement. Dans cette étude, le calcul mécanique initial vise à déterminer la valeur de la pression de contact (supposée constante) entre le disque et la plaquette. On suppose que 60% des forces de freinage est soutenu par les freins avant (les deux rotors), soit 30 % pour un seul disque [28]. La force de rotor pour un véhicule typique est calculée en utilisant les données de véhicule contenues dans le tableau III.3, ayant pour résultat :
Tableau.III.3 : Données de véhicule.
Les forces travaillant au disque de frein [28] :
Surface totale du disque en contact avec les plaquettes = 35797 mm2 (Fig.III.7)
Fig.III.7 : Zone de contact sélectionnée en ANSYS 1 Face : Ac = 35797 mm2
La pression extérieure entre le disque et les plaquettes se calcule par la force appliquée au disque ; pour une voie plate, la pression hydraulique est [29] :
Où Ac est l’aire de surface de la plaquette en contact avec le disque et le coefficient de frottement. L’aire de zone en contact de la plaquette en mm2 avec le disque est donnée directement en ANSYS en sélectionnant cette surface comme indique la couleur vert dans la figure III.8. Dans le cas d’une plaquette de frein sans rainure, le calcul de la pression hydraulique exercée est obtenu de la même manière.
Fig.III.8 : 2 Faces Aire = 5246,3 mm2
Fig.III.9 : 1 Corps : Volume= 85534 mm3
Après la visualisation des différends maillages ; en sélectionnant sur les tâches de l’applet du maillage, on ouvre l’ensemble disque-plaquette sur le modèle FE, on obtient le résumé de cette importation, ce qui représenté sur les figures III.10, 11
Fig.III.10 : Modèle FE d’un ensemble disque-plaquette.
Tableau III.4 : Résultats d’un maillage d’un type d’éléments tétraèdre quadratique à 10 nœuds.
Fig.III.11 : Zone de contact.
Tableau III.5 : Résumé des types d’éléments.
III.3.6 Modélisation du modèle de contact de frein à disque
Pour appliquer le modèle mécanique d’élément finis avec un rotor, nous considérons les hypothèses suivantes :
– La pression de freinage est uniformément répartie sur la zone de contact du disque et les plaquettes.
– Le coefficient de frottement reste constant pendant le freinage.
– Les matériaux du disque et des plaquettes sont homogènes et leurs propriétés sont invariables avec la température.
III.3.6.1 Modélisation du chargement et des conditions aux limites
Les différentes conditions aux limites imposées au modèle éléments finis du disque et de la plaquette en configurations encastrées, compte tenu de son environnement direct, sont les suivantes (Figure III.12) :
III.3.6.1.1 Conditions aux limites appliquées au disque
– La rotation du disque est prise en compte, en tenant sa vitesse angulaire imposée et constante w=157,89 rad/s suivant y [30].
– Les nœuds du diamètre intérieur sont bloqués suivant la direction radiale et axiale en laissant la direction tangentielle libre (support cylindrique).
– Le disque est encastré par les 6 perçages au niveau du bol de fixation qui permettent de maintenir le disque sur le moyeu dans les trois directions de l’espace.
III.3.6.1.2 Conditions aux limites et chargement appliquées aux plaquettes
Les conditions aux limites appliquées aux plaquettes sont définies en fonction des mouvements autorisés par l’étrier. En effet, un des rôles de l’étrier est de retenir les plaquettes qui ont la tendance naturelle à suivre le mouvement du disque lorsque les deux structures sont en contact. L’étrier maintient aussi les plaquettes dans la direction z.
Ainsi, les conditions imposées aux plaquettes sont :
– La plaquette est encastrée sur ses bords dans le plan orthogonal à la surface de contact, autorisant ainsi un mouvement de corps rigide dans la direction normale au contact tel que l’on peut le trouver dans un montage de frein automobile [30].
– Un support fixe dans la plaquette extérieure.
Le chargement mécanique est représenté par les plaquettes qui viennent presser le disque et qui engendrent des frottements dus à la rotation de ce dernier. L’effort de serrage des plaquettes provient de la pression d’un piston hydraulique cylindrique sur la plaquette où on a seulement une condition de chargement :
– Une pression P de 1 MPa appliquée sur la plaquette intérieure.
Sans oublier la création des interactions de contact (frottement …) entre les deux pièces. On introduit un coefficient de frottement μ pour définir le frottement. Celui-ci dépend de beaucoup de paramètres (pression, vitesse de glissement, température, humidité, etc.) et varie donc au cours d’un freinage. Pour des raisons de simplicité, il est pris constant et égal à μ = 0,2 dans les calculs.
Fig.III.12: Conditions aux limites et chargement imposées au disque-plaquette.
Gardant pour ce but le même chargement et même conditions aux limites qu’au par avant, comme le montre la figure III.13. Essayons maintenant, le cas d’un étrier fixe à deux pistons.
Fig.III.13: Conditions aux limites et chargement imposées au disque-plaquette à deux pistons.
III.3.7 Gestion du contact
Nous avons dit que le code de calcul ANSYS repose sur des formulations telles que (méthode Lagrangien augmenté, méthode par pénalité, MPC, Lagrangien normal) pour la résolution numérique du problème de contact.
Dans notre étude, nous considérons une méthode de pénalité pour la gestion du contact plutôt que l’utilisation des multiplicateurs de Lagrange. Plusieurs arguments motivant ce choix En premier lieu, c’est une méthode simple à adapter et elle ne génère pas d’inconnues supplémentaires [30]. D’autre part, les mesures considérées de compression de la plaquette sur un support rigide montrent un comportement non-linéaire, principalement dû aux aspérités des surfaces de contact et/ou au comportement élastique non-linéaire du matériau de plaquette. Une loi de Signorini (et donc l’utilisation des multiplicateurs de Lagrange) simule un contact “dur” entre les aspérités, la méthode de pénalité non-linéaire simule un contact plus souple entre les aspérités et la véracité d’une méthode plutôt qu’une autre est difficilement évaluable tant que l’on ne dispose pas de données expérimentales de référence.
III.3.8 Lancement de calcul
Une fois les données sont installées, il ne reste qu’à lancer la résolution. Le choix d’un résultat parmi tant d’autres obtenus se fait selon le besoin de l’étude à effectuer. Une fois les résultats obtenus, il ne reste qu’à varier certains paramètres (caractéristiques physiques) par rapport à certains autres afin de déterminer les plus influents. Par exemple de notre étude (le module de Young, la vitesse de rotation du disque, le coefficient de frottement …etc.)
III.4 MODELISATION DU COUPLAGE THERMOMECANIQUE
III.4.1 Introduction
Dans le cadre de notre étude, nous allons particulièrement nous intéresser à la thermoélasticité dans des cas où les problèmes thermique et mécanique sont découplés.
Avant d’aller plus loin, insistons sur le fait que si la résolution du problème thermoéIastique dans son aspect couplé, requiert l’analyse simultanée de la température et des déformations, la résolution dans un cas découplé se fait en deux étapes distinctes :
– Déterminer le champ de température indépendamment des conditions mécaniques.
– Evaluer les déformations produites par ce champ de température.
III.4.2 Méthode de la résolution
Un calcul de structure prenant en compte les deux influences (mécanique et thermique) est souvent difficile à réaliser (temps de calcul long, problème de convergence). Au contraire de ce couplage fort, lorsqu’on parvient à négliger les deux influences, le couplage devient faible et le calcul devient plus aisé.
On peut distinguer deux types de couplage faible :
1) la loi de comportement dépend peu de la température. Dans ce cas, le problème mécanique est indépendant du problème thermique.
2) les sources de chaleur dues aux déformations mécaniques sont négligeables devant les sources externes. Dans ce cas, le problème thermique est indépendant du problème mécanique.
Dans le cas d’un changement d’état, la quantité d’énergie mise en jeu est telle qu’on néglige les sources de chaleur interne.
Fig.III.14 : Schéma du couplage thermomécanique.
III.4.3 Formulation du problème
La présente étude a pour but d’analyser le problème de contact thermo élastique des freins à disque avec la génération de friction de la chaleur en employant la méthode des éléments finis [31]. La simulation numérique pour le comportement thermo élastique du frein à disque est d’être obtenue pour l’état d’arrêt simple. Il implique deux types de problème, un problème thermique et un problème élastique.
III.4.3.1 Problème thermique
Ce module implique de trouver la distribution de la température et la distribution de flux de la chaleur dans le disque à de divers endroits. Il peut être trouvé en résolvant l’équation en état instationnaire de conduction de la chaleur dans les coordonnées cylindriques avec les conditions aux limites appropriés.
L’équation en état instationnaire de conduction de la chaleur d’état est donnée par [31]:
La figure III.16 montre le modèle élément fini du disque et plaquettes avec des conditions aux limites [32]. La pression hydraulique est appliquée à la frontière le long du rayon de la plaquette du côté de piston et la condition d’immobilité dans la direction axiale est appliquée à la frontière le long du rayon de côté de doigt.
Le modèle en élément fini thermique du disque de frein avec les conditions aux limites est représenté sur la figure III.17. Les conditions aux limites de convection sont imposées sur toutes les frontières pour considérer des états plus réalistes de la chaleur.
Température initiale est T0 = 20° C dans cette étude.
Le disque entièrement et la partie latérale des plaquettes sont soumis à la convection.
Après l’application de la méthode de Galerkin, on obtient les matrices d’élément :
Pour résoudre l’équation (III.41), la technique finie d’élément transitoire est employés, pendant la simulation, les flux de la chaleur sont assignés à l’élément dans la zone de contact à chaque pas de temps.
III.4.3.1.1 Flux de chaleur
Pendant le freinage, les énergies cinétiques et potentielles pour un véhicule mobile sont converties en énergie thermique par la chaleur de friction entre le disque de frein et les plaquettes. La chaleur de friction est générée sur la surface du disque et les plaquettes de frein. Dans le présent travail, nous considérons la quantité de génération de la chaleur par l’usure est très petit relativement à la chaleur produite par frottement, ainsi l’effet de l’usure matériel est négligé. Le flux de chaleur par friction produit dans l’interface du disque et de la plaquette peut être exprimé comme suit [33] :
III.4.3.2 Problème élastique
Le problème élastique est résolu en employant l’équation constitutive .pendant la modélisation numérique, une particulière attention est exigée pour satisfaire la continuité des déplacements normaux sur la surface de contact et les conditions de recouvrement [30].
Les conditions suivantes des déplacements et des efforts sont imposées à chaque paire de nœuds sur l’interface.
III.4.4 Analyse en ANSYS Multiphysics
Dans cette étape et à l’aide du code de calcul élément fini ANSYS, nous allons faire une modélisation du contact sec du disque et plaquette tout en montrant l’effet de la température dans son comportement (contraintes et déformations globales du modèle). La première étape consiste à déterminer le champ de la température en 3 D à l’aide d’une analyse thermique sous ANSYS , ensuite une analyse mécanique structurale statique comme nous l’avons vu précédemment , le couplage thermique s’effectuera par condition thermique à une température non uniforme tout en prend l’environnement thermique du modèle, Pour cette raison, la commande « condition thermique » sera utilisée pour traiter le problème couplé thermomécanique et gérer le régime transitoire.
Pour étudier le comportement thermo élastique transitoire du disque de frein, la simulation en ANSYS est obtenue dans la durée totale de freinage ( t= 45 s). Réellement la variation de la vitesse tournante pendant l’opération de freinage doit être déterminée la dynamique de véhicule [36]. Cependant, dans cette étude la vitesse tournante du disque a été considérée comme une valeur connue ( w=157.89 rd/s), la pression hydraulique Ph est assumée linéairement grimper jusqu’à 1 MPa. Les propriétés matérielles adoptées dans cette simulation sont récapitulées dans le tableau III.6.
Selon la vraie dimension du disque freinant et les plaquettes, la modélisation pour l’accouplement thermique-structure transitoire tridimensionnel de pendant le processus de freinage est établi. Il est basé sur l’effet de la source de chaleur mobile avec la variation coulissante relative et l’accouplement de l’écoulement thermique de friction entre le disque et la plaquette. En employant le champ non linéaire de multiphysics du logiciel d’Ansys, le processus freinant du frein à disque est simulé [38]. La distribution de la contrainte dans le disque et les pressions de contact d’interface sont analysés..La période variationnelle du température/contrainte augmente avec le temps freinant prolongé. Et la raison de la rupture de fatigue thermique radiale du disque est discutée.
Fig.III.19 : Organigramme de calcul thermomécanique en ANSYS Multiphysics.
Fig.III.20 : L’analyse du couplage thermoélastique en ANSYS Multiphysics